Nhiều năm trước đây, khi công tác ở trường phổ thông, tôi đã cố gắng, làm cho các bạn trẻ tin cậy ở tôi, thấu hiểu tính chất quan trọng của toán học.Tôi đã nói với họ: ’’Không nên xem toán học đơn thuần như sự khó hiểu cần thiết”. Một học sinh đã trả lời tôi: “Không, chúng tôi xem nó là sự khó hiểu vô ích”.
Thật đáng tiếc, một bộ phận thanh niên của chúng ta tiếp nhận một cách hoàn toàn bị động và không hứng thú những kiến thức toán học mà họ cần phải có được ở trường phổ thông. Điều đáng tiếc này có hại không chỉ cho những bạn trẻ đó mà còn cho toàn xã hội của chúng ta. Nếu thời kỳ phổ thông đi đến kết thúc và học sinh tốt nghiệp cần phải chọn nghề tương lai cho mình, ta thường nghe: “Chúng tôi không vào trường đại học có toán học quá nhiều”. Một thanh niên suy nghĩ để xây dựng tương lai của mình với một quan điểm như thế, có lẽ sau vài năm sẽ phải nhận ra rằng, quan điểm của họ là sai lầm. Toán học không phải là sự thông minh sách vở khô khan được cho là độc đáo để chọc tức những học sinh và sinh viên ít quan tâm, cũng không phải là kho tính toán ngốc nghếch chỉ đem lại kết quả là thuộc lòng một tóm tắt công thức. Hơn tất cả, toán học là một công cụ vĩ đại, giảm nhẹ công việc trong các lĩnh vực khác nhau và trong thời gian gần đây.
Toán học cũng đã xâm nhập vào trong những nghề nghiệp mà có lẽ chưa bao giờ chúng ta tìm thấy toán học. Một công nhân chuyên ngành, một người bán hàng thương nghiệp và một nhân viên ngân hàng không thể không tính toán số: một sự tiến bộ của khoa học kinh tế không thể không có những nghiên cứu mà cơ sở của những nghiên cứu đó được tạo nên bởi thống kê toán học. Nếu chúng ta kể ra trong những tạp chí chuyên ngành y học thì thấy rằng: Toán học đã tìm được con đường đi vào lĩnh vực này. Trong thời kỳ đầu của các nhà máy điện nguyên tử, của vệ tinh nhân tạo của quả đất và tên lửa vũ trụ, những tính toán số phong phú đã được thực hiện một cách triệt để bởi những máy tính điện từ những chương trình cho những tính toán này phải do con người xác định. Khắp nơi cần những con người tài năng, và không có nghi ngờ gì cả, sự nghiên cứu cơ bản của toán học trong những thập kỷ gần đây vốn là một bộ phận không tách rời của nền giáo dục toàn dân.
Khó mà trả lời câu hỏi, vì sao nhiều người rất sợ toán. Một quan điểm vô nghĩa lý thống trị ở đây là, để có thể hoàn thành có kết quả các lài liệu toán học ở nhà trường, đòi hỏi một tài năng bẩm sinh, khác thường ít hạnh phúc. Chắc chắn là không phải người nào cũng có thể trở thành giáo sư toán học ở trường đại học nhưng sự khác nhau giữa toán học và các khoa học còn lại mà cơ sở của chúng, qua nghiên cứu trong nhà trường, là không lớn. Một học sinh đạt điểm tốt trong tất cả các chuyên môn khác nhưng kém trong môn toán cần phải nghĩ đến không chỉ phụ huynh và thầy giáo mà trước hết là bản thân mình. Nhưng có khi, một sự thay đổi nhỏ trong phương pháp dạy học, nắm chắc một số các quan hệ cơ bản của tư liệu trình bày là đủ để khơi dậy. Trước hết, một tia lửa nhỏ sự yêu thích và để cuối cùng làm cho một học sinh yếu thành một học sinh có thành tích.
Nguyên nhân của những khó khăn trong nghiên cứu toán học nằm trong phương pháp diễn đạt đặc biệt mà chúng tôi gọi là ngôn ngữ toán học. Với những ngôn ngữ đó, cách phát biểu trở thành nên gọn và rõ ràng, các nhà toán học đã tìm ra hàng loạt ký hiệu và cách viết tắt gần như các ký hiệu tốc ký. Ví dụ như, các số được ký hiệu bằng chữ cái La Mã; các quan hệ giữa các số thường không được diễn đạt bằng lời nói mà thường sử dụng các ký hiệu qui ước (ví dụ như, đáng lẽ viết câu “số a nhỏ hơn số b” thì người ta lại viết gọn a
Cần đặc biệt nhấn mạnh, phần lớn từng từ riêng lẻ trong bài khoá kèm theo của các ký hiệu toán học này là quan trọng. Giải thích sai và hiểu lầm có thể xảy ra nếu chúng ta bỏ sót dù chỉ một từ duy nhất. Từ đó, một bài toán học phải đọc chậm hơn nhiều so với một bài thông thường: Chúng ta liên kết không phải hàng với hàng, tờ với tờ mà là nghiên cứu một cách chu đáo câu với câu. Nhưng, những từ ngữ và lối nói dân gian cũng xâm nhập vào toán học, bằng cách đó, đôi khi chúng ta có thể làm cho tình hình rõ ràng hơn. Chúng ta nói với một người quen: ’’Hai thanh niên này lớn gần bằng nhau“. Lối nói “ lớn gần bằng” sẽ được nhận ra trong toán học bằng ký hiệu ~ tức là, xấp xỉ gần bằng, khoảng chừng (xem trình bày về xấp xỉ bằng ở trang ). Nếu, ngược lại các liên kết tự xuất hiện trong bài của chúng ta mà không mâu thuân với sự chính xác toán học thì chúng ta sẽ thay chúng thành ký hiệu đã dẫn ra trong quyển sách này.
Phương pháp của toán học khác với phương pháp của các khoa học còn lại, có trong chương trình học tập cúa nhà trường. Trong vật lý, thí nghiệm tạo nên một bộ phân rất quan trọng của nghiên cứu. Ví dụ như, nếu chúng ta đun nóng một số thanh kim loại, quan sát sự thay đổi kích thước của các thanh này; căn cứ vào một số lượng hạn chế các thí nghiệm, chúng ta đưa đến định lý tổng quát: Kim loại giãn nở khi bị nung nóng. Phương pháp nhận thức là những trường hợp đặc biệt đạt tới kết luận tổng quát, gọi là phép qui nạp. Từ đó, chúng ta gọi vật lý là một khoa học qui nạp. Nhưng phương pháp qui nạp này không được áp dụng vào toán học và cái đó phân biệt khoa học này với các khoa học còn lại. Toán học đi ngay vào tư duy tổng quát, chính là từ tổng quát đến đặc biệt: phương pháp của nó gọi là suy diễn. Nhưng trong toán học phương pháp qui nạp cũng rất phong phú như là trong việc thành lập những qui luật và những quan hệ mới. Nếu trong toán học, một khẳng định nào đó được đưa ra, đúng cho những trường hợp đặc biệt riêng lẻ, vẫn không thể công nhận khẳng định đó là đúng cho tổng quát, chừng nào mà chưa mang lại cho nó một sự chứng minh toán học: một số lớn trường hợp công nhận sự đúng đắn hoàn toàn vẫn chưa đủ là một chứng minh.
Trong quyển sách này chúng tôi hướng vào bạn đọc đã tốt nghiệp trường 8 năm, chỉ ở một vài chỗ chúng tôi giả thiết bạn đọc đã nắm vững các kiến thức của trường phổ thông trung học kỹ thuật tổng hợp 10 năm. Tuy nhiên chúng tôi xin lưu ý rằng, đây không phải là một quyển sách giáo khoa toán học cũng không phải là một sưu tập các công thức và định lý. Quyển sách này xuất phát từ những báo cáo cho hội phổ biến kiến thức chính trị và khoa học Tiệp Khắc và theo sự uỷ nhiệm của hội Toán học và vật lý học Tiệp Khắc. Tư liệu được trình bày trong bày chương có quan hệ rất rời rạc. Tôi muốn khuyên bạn đọc trẻ – trong hứng thú riêng của mình – hãy nghiên cứu nghiêm túc toán học và tin rằng, con đường thông dụng nhất dẫn tới điều đó là “toán học vui”. Trò chơi toán học, tiêu khiển toán học hoặc câu đố, trong những thập kỷ gần đây đã giành được quyền tự tồn tại bên cạnh những ngành toán học cổ điển. Trong đại hội toán học quốc tế lần thứ V ở Cambridge năm 1912, nhà toán học Hy Lạp N.Hatzidakis đã đọc một báo cáo với tiên đề “Giáo trình có hệ thống của toán học vui ở trường trung học”; diễn giả đã thuyết trình về sự mở đầu của “toán học vui” trong các giờ học, qua đó , như ông nói, khơi dậy sự thích thú to lớn của học sinh vào lĩnh vực quan trọng này và sẽ tránh được một gánh nặng của học trò. Tiếc rằng, những suy nghĩ phong phú này, cho tới nay,người ta tiếp tục theo đuổi không nghiêm túc.
Trong quyển sách này chúng tôi xuất phát từ trò chơi toán học,nhưng cần phải nhấn mạnh rằng có nhiều “ hạt cứng ” và trò chơi toán học không chỉ là phương tiện để “ rút ngắn sự buồn tẻ ” mà là dẫn tới những bài toán nghiêm túc và để ứng dụng toán học trong vào ngành giao thông,vào ngành kỹ thuật ,vào các khoa học tự nhiên và vào cuộc sống hàng ngày rất có giá trị .Tinh chất mở đầu này của toán học vui đã không được nhấn mạnh một cách đầy đủ trong các bài viết tương tự .Những bài toán đệm đã tạo thành sự quá độ giữa trò chơi toán học và các bài toán học nghiêm túc. Trong quyển sách này chúng tôi cũng giành cho những bài toán đó sự chú ý; trong chương cuối cùng, chương bảy, chúng tôi chỉ giành cho các bài toán đệm với chủ đề kỹ thuật tổng hợp. Tôi nghĩ rằng, trong công bố của chúng tôi không được thiếu một sự mô tả nguyên nhân lịch sử làm xuất hiện những bài toán nhỏ thú vị của các nhà toán học danh tiếng .
Bạn đọc muốn làm toán có kết quả, không được thoả mãn với một sự thu nhận bị động mà phải tự suy nghĩ về các bài tập tương ứng. Tuy rằng trong việc nghiên cứu giải các bài toán có nhiều khó khăn nhưng lại đảm bảo một sự bổ ích rất lơn. Trong quyển sách này chúng tôi sử dụng một phần các tư liệu luận giải vào các bài tập ở cuối mỗi chương. Lời giải các bài tập này tìm thấy ở cuối quyển sách, nhưng xin đề nghị bạn đọc , hãy dùng nó để so sánh với kết quả của bản thân mình tự giải. Nếu bạn đọc nào không biết bắt đầu với bài toán như thế thì khi đó hãy nhìn qua lời giải trước.
Chúng tôi mong rằng,bạn đọc nào đã đi trước cũng tìm được thú vị với tập sách này và xin lưu ý; những bài toán khó được ký hiệu bằng một dấu sao (*), bài toán đặc biệt khó được ký hiệu bằng hai dấu sao(**). Bạn đọc nào chưa khắc phục được những khó khăn như thế thì trước hết có thể bỏ qua đoạn đó và để sau sẽ quay lại.
Cuối cùng, chúng tôi xin cảm ơn ngài Phó giáo sư J.Holubár, đã đọc toàn bộ bản thảo của tập sách nhỏ này kỹ lưỡng và ở nhiều chỗ đã góp phần cải tiến công trình của tôi.
Thật đáng tiếc, một bộ phận thanh niên của chúng ta tiếp nhận một cách hoàn toàn bị động và không hứng thú những kiến thức toán học mà họ cần phải có được ở trường phổ thông. Điều đáng tiếc này có hại không chỉ cho những bạn trẻ đó mà còn cho toàn xã hội của chúng ta. Nếu thời kỳ phổ thông đi đến kết thúc và học sinh tốt nghiệp cần phải chọn nghề tương lai cho mình, ta thường nghe: “Chúng tôi không vào trường đại học có toán học quá nhiều”. Một thanh niên suy nghĩ để xây dựng tương lai của mình với một quan điểm như thế, có lẽ sau vài năm sẽ phải nhận ra rằng, quan điểm của họ là sai lầm. Toán học không phải là sự thông minh sách vở khô khan được cho là độc đáo để chọc tức những học sinh và sinh viên ít quan tâm, cũng không phải là kho tính toán ngốc nghếch chỉ đem lại kết quả là thuộc lòng một tóm tắt công thức. Hơn tất cả, toán học là một công cụ vĩ đại, giảm nhẹ công việc trong các lĩnh vực khác nhau và trong thời gian gần đây.
Toán học cũng đã xâm nhập vào trong những nghề nghiệp mà có lẽ chưa bao giờ chúng ta tìm thấy toán học. Một công nhân chuyên ngành, một người bán hàng thương nghiệp và một nhân viên ngân hàng không thể không tính toán số: một sự tiến bộ của khoa học kinh tế không thể không có những nghiên cứu mà cơ sở của những nghiên cứu đó được tạo nên bởi thống kê toán học. Nếu chúng ta kể ra trong những tạp chí chuyên ngành y học thì thấy rằng: Toán học đã tìm được con đường đi vào lĩnh vực này. Trong thời kỳ đầu của các nhà máy điện nguyên tử, của vệ tinh nhân tạo của quả đất và tên lửa vũ trụ, những tính toán số phong phú đã được thực hiện một cách triệt để bởi những máy tính điện từ những chương trình cho những tính toán này phải do con người xác định. Khắp nơi cần những con người tài năng, và không có nghi ngờ gì cả, sự nghiên cứu cơ bản của toán học trong những thập kỷ gần đây vốn là một bộ phận không tách rời của nền giáo dục toàn dân.
Khó mà trả lời câu hỏi, vì sao nhiều người rất sợ toán. Một quan điểm vô nghĩa lý thống trị ở đây là, để có thể hoàn thành có kết quả các lài liệu toán học ở nhà trường, đòi hỏi một tài năng bẩm sinh, khác thường ít hạnh phúc. Chắc chắn là không phải người nào cũng có thể trở thành giáo sư toán học ở trường đại học nhưng sự khác nhau giữa toán học và các khoa học còn lại mà cơ sở của chúng, qua nghiên cứu trong nhà trường, là không lớn. Một học sinh đạt điểm tốt trong tất cả các chuyên môn khác nhưng kém trong môn toán cần phải nghĩ đến không chỉ phụ huynh và thầy giáo mà trước hết là bản thân mình. Nhưng có khi, một sự thay đổi nhỏ trong phương pháp dạy học, nắm chắc một số các quan hệ cơ bản của tư liệu trình bày là đủ để khơi dậy. Trước hết, một tia lửa nhỏ sự yêu thích và để cuối cùng làm cho một học sinh yếu thành một học sinh có thành tích.
Nguyên nhân của những khó khăn trong nghiên cứu toán học nằm trong phương pháp diễn đạt đặc biệt mà chúng tôi gọi là ngôn ngữ toán học. Với những ngôn ngữ đó, cách phát biểu trở thành nên gọn và rõ ràng, các nhà toán học đã tìm ra hàng loạt ký hiệu và cách viết tắt gần như các ký hiệu tốc ký. Ví dụ như, các số được ký hiệu bằng chữ cái La Mã; các quan hệ giữa các số thường không được diễn đạt bằng lời nói mà thường sử dụng các ký hiệu qui ước (ví dụ như, đáng lẽ viết câu “số a nhỏ hơn số b” thì người ta lại viết gọn a
Cần đặc biệt nhấn mạnh, phần lớn từng từ riêng lẻ trong bài khoá kèm theo của các ký hiệu toán học này là quan trọng. Giải thích sai và hiểu lầm có thể xảy ra nếu chúng ta bỏ sót dù chỉ một từ duy nhất. Từ đó, một bài toán học phải đọc chậm hơn nhiều so với một bài thông thường: Chúng ta liên kết không phải hàng với hàng, tờ với tờ mà là nghiên cứu một cách chu đáo câu với câu. Nhưng, những từ ngữ và lối nói dân gian cũng xâm nhập vào toán học, bằng cách đó, đôi khi chúng ta có thể làm cho tình hình rõ ràng hơn. Chúng ta nói với một người quen: ’’Hai thanh niên này lớn gần bằng nhau“. Lối nói “ lớn gần bằng” sẽ được nhận ra trong toán học bằng ký hiệu ~ tức là, xấp xỉ gần bằng, khoảng chừng (xem trình bày về xấp xỉ bằng ở trang ). Nếu, ngược lại các liên kết tự xuất hiện trong bài của chúng ta mà không mâu thuân với sự chính xác toán học thì chúng ta sẽ thay chúng thành ký hiệu đã dẫn ra trong quyển sách này.
Phương pháp của toán học khác với phương pháp của các khoa học còn lại, có trong chương trình học tập cúa nhà trường. Trong vật lý, thí nghiệm tạo nên một bộ phân rất quan trọng của nghiên cứu. Ví dụ như, nếu chúng ta đun nóng một số thanh kim loại, quan sát sự thay đổi kích thước của các thanh này; căn cứ vào một số lượng hạn chế các thí nghiệm, chúng ta đưa đến định lý tổng quát: Kim loại giãn nở khi bị nung nóng. Phương pháp nhận thức là những trường hợp đặc biệt đạt tới kết luận tổng quát, gọi là phép qui nạp. Từ đó, chúng ta gọi vật lý là một khoa học qui nạp. Nhưng phương pháp qui nạp này không được áp dụng vào toán học và cái đó phân biệt khoa học này với các khoa học còn lại. Toán học đi ngay vào tư duy tổng quát, chính là từ tổng quát đến đặc biệt: phương pháp của nó gọi là suy diễn. Nhưng trong toán học phương pháp qui nạp cũng rất phong phú như là trong việc thành lập những qui luật và những quan hệ mới. Nếu trong toán học, một khẳng định nào đó được đưa ra, đúng cho những trường hợp đặc biệt riêng lẻ, vẫn không thể công nhận khẳng định đó là đúng cho tổng quát, chừng nào mà chưa mang lại cho nó một sự chứng minh toán học: một số lớn trường hợp công nhận sự đúng đắn hoàn toàn vẫn chưa đủ là một chứng minh.
Trong quyển sách này chúng tôi hướng vào bạn đọc đã tốt nghiệp trường 8 năm, chỉ ở một vài chỗ chúng tôi giả thiết bạn đọc đã nắm vững các kiến thức của trường phổ thông trung học kỹ thuật tổng hợp 10 năm. Tuy nhiên chúng tôi xin lưu ý rằng, đây không phải là một quyển sách giáo khoa toán học cũng không phải là một sưu tập các công thức và định lý. Quyển sách này xuất phát từ những báo cáo cho hội phổ biến kiến thức chính trị và khoa học Tiệp Khắc và theo sự uỷ nhiệm của hội Toán học và vật lý học Tiệp Khắc. Tư liệu được trình bày trong bày chương có quan hệ rất rời rạc. Tôi muốn khuyên bạn đọc trẻ – trong hứng thú riêng của mình – hãy nghiên cứu nghiêm túc toán học và tin rằng, con đường thông dụng nhất dẫn tới điều đó là “toán học vui”. Trò chơi toán học, tiêu khiển toán học hoặc câu đố, trong những thập kỷ gần đây đã giành được quyền tự tồn tại bên cạnh những ngành toán học cổ điển. Trong đại hội toán học quốc tế lần thứ V ở Cambridge năm 1912, nhà toán học Hy Lạp N.Hatzidakis đã đọc một báo cáo với tiên đề “Giáo trình có hệ thống của toán học vui ở trường trung học”; diễn giả đã thuyết trình về sự mở đầu của “toán học vui” trong các giờ học, qua đó , như ông nói, khơi dậy sự thích thú to lớn của học sinh vào lĩnh vực quan trọng này và sẽ tránh được một gánh nặng của học trò. Tiếc rằng, những suy nghĩ phong phú này, cho tới nay,người ta tiếp tục theo đuổi không nghiêm túc.
Trong quyển sách này chúng tôi xuất phát từ trò chơi toán học,nhưng cần phải nhấn mạnh rằng có nhiều “ hạt cứng ” và trò chơi toán học không chỉ là phương tiện để “ rút ngắn sự buồn tẻ ” mà là dẫn tới những bài toán nghiêm túc và để ứng dụng toán học trong vào ngành giao thông,vào ngành kỹ thuật ,vào các khoa học tự nhiên và vào cuộc sống hàng ngày rất có giá trị .Tinh chất mở đầu này của toán học vui đã không được nhấn mạnh một cách đầy đủ trong các bài viết tương tự .Những bài toán đệm đã tạo thành sự quá độ giữa trò chơi toán học và các bài toán học nghiêm túc. Trong quyển sách này chúng tôi cũng giành cho những bài toán đó sự chú ý; trong chương cuối cùng, chương bảy, chúng tôi chỉ giành cho các bài toán đệm với chủ đề kỹ thuật tổng hợp. Tôi nghĩ rằng, trong công bố của chúng tôi không được thiếu một sự mô tả nguyên nhân lịch sử làm xuất hiện những bài toán nhỏ thú vị của các nhà toán học danh tiếng .
Bạn đọc muốn làm toán có kết quả, không được thoả mãn với một sự thu nhận bị động mà phải tự suy nghĩ về các bài tập tương ứng. Tuy rằng trong việc nghiên cứu giải các bài toán có nhiều khó khăn nhưng lại đảm bảo một sự bổ ích rất lơn. Trong quyển sách này chúng tôi sử dụng một phần các tư liệu luận giải vào các bài tập ở cuối mỗi chương. Lời giải các bài tập này tìm thấy ở cuối quyển sách, nhưng xin đề nghị bạn đọc , hãy dùng nó để so sánh với kết quả của bản thân mình tự giải. Nếu bạn đọc nào không biết bắt đầu với bài toán như thế thì khi đó hãy nhìn qua lời giải trước.
Chúng tôi mong rằng,bạn đọc nào đã đi trước cũng tìm được thú vị với tập sách này và xin lưu ý; những bài toán khó được ký hiệu bằng một dấu sao (*), bài toán đặc biệt khó được ký hiệu bằng hai dấu sao(**). Bạn đọc nào chưa khắc phục được những khó khăn như thế thì trước hết có thể bỏ qua đoạn đó và để sau sẽ quay lại.
Cuối cùng, chúng tôi xin cảm ơn ngài Phó giáo sư J.Holubár, đã đọc toàn bộ bản thảo của tập sách nhỏ này kỹ lưỡng và ở nhiều chỗ đã góp phần cải tiến công trình của tôi.
